સતત-સમય પ્રણાલીઓમાં કાર્યકારણ અને સ્થિરતાના ખ્યાલો અંગે, નીચેના વિધાનોને ધ્યાનમાં લો:1.કાર્યકારણ પદ્ધતિ આઉટપુટ ઉત્પન્ન કરે છે જે ફક્ત વર્તમાન અને ભૂતકાળના ઇનપુટ મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે, ભવિષ્યના ઇનપુટ પર નહીં.2.જો દરેક બાઉન્ડેડ ઇનપુટ બાઉન્ડેડ આઉટપુટ ઉત્પન્ન કરે તો સિસ્ટમ BIBO સ્થિર હોવાનું કહેવાય છે.3.તમામ કાર્યકારણ પ્રણાલીઓ માત્ર ભૂતકાળના ઇનપુટ્સ પર તેમની નિર્ભરતાને કારણે સ્વાભાવિક રીતે સ્થિર છે.4.LTI સિસ્ટમ માટે, તેના લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મના ROCમાં કાલ્પનિક અક્ષનો સમાવેશ સ્થિરતા સૂચવે છે.ઉપરોક્તમાંથી કયું વિધાન સાચું છે/છે?

સાચો જવાબ: સી - 1, 2 અને 4 માત્ર

ઝડપી ખ્યાલ સમજૂતી

લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મને તેના કન્વર્જન્સના ક્ષેત્ર સાથે એકસાથે ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક છે. તર્કસંગત LTI સિસ્ટમ માટે, BIBO સ્થિરતા માટે ROC ને jω અક્ષનો સમાવેશ કરવાની જરૂર છે; કાર્યકારણ એક કારણભૂત તર્કસંગત સિસ્ટમ માટે જમણી બાજુનું આરઓસી લાદે છે. મુખ્ય સંબંધ: X(s)=∫x(t)e^(−st)dt; સ્થિરતા ⇒ jω અક્ષ ROC માં આવેલો છે.

પરીક્ષા ફોકસ: ટ્રાન્સફોર્મ એક્સપ્રેશન + ROC સમય સંકેતને ઓળખે છે. સામાન્ય છટકું: ROCની અંદર ક્યારેય પોલ ન મૂકો.

નિવેદન મુજબની ચકાસણી

• વિધાન 1 - સાચું.
  કાર્યકારણ સિસ્ટમ આઉટપુટ ઉત્પન્ન કરે છે જે ફક્ત વર્તમાન અને ભૂતકાળના ઇનપુટ મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે, ભવિષ્યના ઇનપુટ્સ પર નહીં.
  કારણભૂત તર્કસંગત પ્રણાલી માટે કાર્યકારણ જમણી બાજુનું આરઓસી લાદે છે.
• વિધાન 2 - સાચું.
  જો દરેક બાઉન્ડેડ ઇનપુટ બાઉન્ડેડ આઉટપુટ ઉત્પન્ન કરે તો સિસ્ટમ BIBO સ્થિર હોવાનું કહેવાય છે.
  તર્કસંગત LTI સિસ્ટમ માટે, BIBO સ્થિરતા માટે ROC એ jω અક્ષનો સમાવેશ કરવાની જરૂર છે
• વિધાન 3 - ખોટું.
  માત્ર ભૂતકાળના ઇનપુટ્સ પર તેમની અવલંબનને કારણે તમામ કાર્યકારી પ્રણાલીઓ સ્વાભાવિક રીતે સ્થિર છે.
  કાર્યકારણ અને સ્થિરતા સ્વતંત્ર ગુણધર્મો છે; કારણભૂત સિસ્ટમ અસ્થિર હોઈ શકે છે
• વિધાન 4 - સાચું.
  LTI સિસ્ટમ માટે, તેના લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મના ROCમાં કાલ્પનિક અક્ષનો સમાવેશ સ્થિરતા સૂચવે છે.
  તર્કસંગત LTI સિસ્ટમ માટે, BIBO સ્થિરતા માટે ROC એ jω અક્ષનો સમાવેશ કરવાની જરૂર છે

કોર કન્સેપ્ટ

લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મને તેના કન્વર્જન્સના ક્ષેત્ર સાથે એકસાથે ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક છે. આરઓસી ધ્રુવોને બાકાત રાખે છે, અને સમાન બીજગણિત રૂપાંતરણ વિવિધ આરઓસી સાથે વિવિધ સમય સંકેતોનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે. તર્કસંગત LTI સિસ્ટમ માટે, BIBO સ્થિરતા માટે ROC ને jω અક્ષનો સમાવેશ કરવાની જરૂર છે; કાર્યકારણ એક કારણભૂત તર્કસંગત સિસ્ટમ માટે જમણી બાજુનું આરઓસી લાદે છે.

ફોર્મ્યુલા / કી સંબંધ

X(s)=∫x(t)e^(−st)dt; સ્થિરતા ⇒ jω અક્ષ ROC માં આવેલો છે.

શા માટે અન્ય વિકલ્પો ખોટા છે

વિકલ્પ A ખોટો છે કારણ કે તે સાચા વિધાન(ઓ)ને છોડી દે છે 4. વિકલ્પ B ખોટો છે કારણ કે તેમાં ખોટા વિધાન(ઓ) 3નો સમાવેશ થાય છે અને સાચા વિધાન(ઓ) 1ને બાદ કરે છે, 4. વિકલ્પ D ખોટો છે કારણ કે તેમાં ખોટા વિધાન(ઓ) 3નો સમાવેશ થાય છે.

પરીક્ષાનો શોર્ટકટ / અભિગમ

રૂપાંતર અભિવ્યક્તિ + ROC સમય સંકેતને ઓળખે છે.

સામાન્ય ભૂલ

ROC ની અંદર ક્યારેય પોલ ન મૂકો.

ઝડપી પુનરાવર્તન

BIBO સ્થિરતા અને લેપ્લેસ આરઓસીકાર્યકારણ અને સ્થિરતા, સિસ્ટમ પ્રોપર્ટીઝ અને સિગ્નલો અને સિસ્ટમ્સ સાથે જોડાયેલ છે. રૂપાંતર અભિવ્યક્તિ + ROC સમય સંકેતને ઓળખે છે.