निरंतर समय प्रणालियों में कार्य-कारण और स्थिरता की अवधारणाओं के संबंध में, निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:1.एक कारण प्रणाली आउटपुट उत्पन्न करती है जो केवल वर्तमान और पिछले इनपुट मूल्यों पर निर्भर करती है, भविष्य के इनपुट पर नहीं।2.एक सिस्टम को BIBO स्थिर कहा जाता है यदि प्रत्येक बाउंडेड इनपुट एक बाउंडेड आउटपुट उत्पन्न करता है।3.सभी कारण प्रणालियाँ केवल पिछले इनपुट पर निर्भरता के कारण स्वाभाविक रूप से स्थिर हैं।4.एलटीआई प्रणाली के लिए, इसके लाप्लास परिवर्तन के आरओसी में काल्पनिक अक्ष को शामिल करने से स्थिरता का पता चलता है।उपरोक्त में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
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लाप्लास परिवर्तन को इसके अभिसरण क्षेत्र के साथ एक साथ माना जाना चाहिए। एक तर्कसंगत एलटीआई प्रणाली के लिए, बीआईबीओ स्थिरता के लिए आरओसी में जेω अक्ष को शामिल करने की आवश्यकता होती है; कार्य-कारण तर्कसंगत प्रणाली के लिए कार्य-कारण एक दाएं तरफा आरओसी लगाता है। मुख्य संबंध: X(s)=∫x(t)e^(−st)dt; स्थिरता ⇒ jω अक्ष ROC में स्थित है।
परीक्षा फोकस: ट्रांसफॉर्म एक्सप्रेशन + आरओसी समय संकेत की पहचान करता है। सामान्य जाल: आरओसी के अंदर कभी भी पोल न रखें।
फॉर्मूला / मुख्य संबंध
X(s)=∫x(t)e^(−st)dt; स्थिरता ⇒ jω अक्ष ROC में स्थित है।
विस्तृत व्याख्या
सही उत्तर: सी - केवल 1, 2 और 4त्वरित अवधारणा स्पष्टीकरणलाप्लास परिवर्तन को इसके अभिसरण क्षेत्र के साथ एक साथ माना जाना चाहिए। एक तर्कसंगत एलटीआई प्रणाली के लिए, बीआईबीओ स्थिरता के लिए आरओसी में जेω अक्ष को शामिल करने की आवश्यकता होती है; कार्य-कारण तर्कसंगत प्रणाली के लिए कार्य-कारण एक दाएं तरफा आरओसी लगाता है। मुख्य संबंध: X(s)=∫x(t)e^(−st)dt; स्थिरता ⇒ jω अक्ष ROC में स्थित है।परीक्षा फोकस: ट्रांसफॉर्म एक्सप्रेशन + आरओसी समय संकेत की पहचान करता है। सामान्य जाल: आरओसी के अंदर कभी भी पोल न रखें।विवरण-वार सत्यापनकथन 1 - सही।एक कारण प्रणाली आउटपुट उत्पन्न करती है जो केवल…
सही उत्तर: सी - केवल 1, 2 और 4
त्वरित अवधारणा स्पष्टीकरण
लाप्लास परिवर्तन को इसके अभिसरण क्षेत्र के साथ एक साथ माना जाना चाहिए। एक तर्कसंगत एलटीआई प्रणाली के लिए, बीआईबीओ स्थिरता के लिए आरओसी में जेω अक्ष को शामिल करने की आवश्यकता होती है; कार्य-कारण तर्कसंगत प्रणाली के लिए कार्य-कारण एक दाएं तरफा आरओसी लगाता है। मुख्य संबंध: X(s)=∫x(t)e^(−st)dt; स्थिरता ⇒ jω अक्ष ROC में स्थित है।
परीक्षा फोकस: ट्रांसफॉर्म एक्सप्रेशन + आरओसी समय संकेत की पहचान करता है। सामान्य जाल: आरओसी के अंदर कभी भी पोल न रखें।
विवरण-वार सत्यापन
कथन 1 - सही। एक कारण प्रणाली आउटपुट उत्पन्न करती है जो केवल वर्तमान और पिछले इनपुट मूल्यों पर निर्भर करती है, भविष्य के इनपुट पर नहीं। कारण-संबंधी तर्कसंगत प्रणाली के लिए कार्य-कारण एक सही-पक्षीय आरओसी लगाता है।
कथन 2 - सही। एक सिस्टम को BIBO स्थिर कहा जाता है यदि प्रत्येक बाउंडेड इनपुट एक बाउंडेड आउटपुट उत्पन्न करता है। एक तर्कसंगत एलटीआई प्रणाली के लिए, बीआईबीओ स्थिरता के लिए आरओसी में जेω अक्ष को शामिल करने की आवश्यकता होती है
कथन 3 - ग़लत. सभी कारण प्रणालियाँ केवल पिछले इनपुट पर निर्भरता के कारण स्वाभाविक रूप से स्थिर हैं। कारणता और स्थिरता स्वतंत्र गुण हैं; एक कारण प्रणाली अस्थिर हो सकती है
कथन 4 - सही। एलटीआई प्रणाली के लिए, इसके लाप्लास परिवर्तन के आरओसी में काल्पनिक अक्ष को शामिल करने से स्थिरता का पता चलता है। एक तर्कसंगत एलटीआई प्रणाली के लिए, बीआईबीओ स्थिरता के लिए आरओसी में जेω अक्ष को शामिल करने की आवश्यकता होती है
मूल संकल्पना
लाप्लास परिवर्तन को इसके अभिसरण क्षेत्र के साथ एक साथ माना जाना चाहिए। आरओसी ध्रुवों को बाहर करता है, और एक ही बीजगणितीय परिवर्तन अलग-अलग आरओसी के साथ अलग-अलग समय संकेतों का प्रतिनिधित्व कर सकता है। एक तर्कसंगत एलटीआई प्रणाली के लिए, बीआईबीओ स्थिरता के लिए आरओसी में जेω अक्ष को शामिल करने की आवश्यकता होती है; कार्य-कारण तर्कसंगत प्रणाली के लिए कार्य-कारण एक दाएं तरफा आरओसी लगाता है।
सूत्र/कुंजी संबंध
X(s)=∫x(t)e^(−st)dt; स्थिरता ⇒ jω अक्ष ROC में स्थित है।
अन्य विकल्प ग़लत क्यों हैं?
विकल्प ए गलत है क्योंकि इसमें सही कथन 4 को छोड़ दिया गया है। विकल्प बी गलत है क्योंकि इसमें गलत कथन 3 शामिल है और सही कथन 1, 4 को छोड़ दिया गया है। विकल्प डी गलत है क्योंकि इसमें गलत कथन 3 शामिल है।
परीक्षा शॉर्टकट/दृष्टिकोण
ट्रांसफ़ॉर्म एक्सप्रेशन + आरओसी समय संकेत की पहचान करता है।
सामान्य गलती
आरओसी के अंदर कभी भी पोल न लगाएं।
त्वरित संशोधन
BIBO स्थिरता और लाप्लास ROCकारणता और स्थिरता, सिस्टम गुण और सिग्नल और सिस्टम से जुड़ा हुआ है। ट्रांसफ़ॉर्म एक्सप्रेशन + आरओसी समय संकेत की पहचान करता है।
क्विक ट्रिक
ट्रांसफ़ॉर्म एक्सप्रेशन + आरओसी समय संकेत की पहचान करता है।
दूसरे विकल्प गलत क्यों हैं
विकल्प ए गलत है क्योंकि इसमें सही कथन 4 को छोड़ दिया गया है। विकल्प बी गलत है क्योंकि इसमें गलत कथन 3 शामिल है और सही कथन 1, 4 को छोड़ दिया गया है। विकल्प डी गलत है क्योंकि इसमें गलत कथन 3 शामिल है।
सामान्य गलती
आरओसी के अंदर कभी भी पोल न लगाएं।
एग्जाम टिप
ट्रांसफ़ॉर्म एक्सप्रेशन + आरओसी समय संकेत की पहचान करता है।
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