दूसरे क्रम प्रणाली की इकाई चरण प्रतिक्रिया = 1 − e^(−5t) − 5t e^(−5t) है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:1.कम नम प्राकृतिक आवृत्ति 5 रेड/सेकेंड है।2.अवमंदन अनुपात है1.3.आवेग प्रतिक्रिया 25t e^(−5t) है।ऊपर दिए गए कथनों में से कौन सा सही है?
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प्रतिक्रिया 1−e⁻⁵ᵗ−5te⁻⁵ᵗ −5 पर बार-बार ध्रुव के साथ गंभीर रूप से नम दूसरे क्रम प्रणाली की मानक इकाई-चरण प्रतिक्रिया है। इसलिए ζ=1, और चरण प्रतिक्रिया को अलग करने से आवेग प्रतिक्रिया h(t)=25te⁻⁵ᵗ मिलती है। कथन 1 गलत है क्योंकि कोई कम नमी वाली प्राकृतिक आवृत्ति नहीं है।
फॉर्मूला / मुख्य संबंध
c(t)=1−(1+5t)e⁻⁵ᵗ
ζ = 1
ωn = 5 रेड/सेकेंड
ωd = ωn√(1−ζ²)=0
h(t)=dc(t)/dt
=25t e⁻⁵ᵗ
विस्तृत व्याख्या
संकल्पना एवं तर्कगंभीर रूप से नम प्रणाली के लिए G(s)=ω_n²/(s+ω_n)² ζ=1 के साथ। इसकी इकाई-चरण प्रतिक्रिया 1−e^{-ω_n t}(1+ω_n t) है। दिए गए व्यंजक से तुलना करने पर ω_n=5 rad/s और ζ=1 मिलता है। नम दोलन आवृत्ति ω_d=ω_n√(1−ζ²)=0, इसलिए 5 rad/s को 'अंडरडेम्प्ड प्राकृतिक आवृत्ति' कहना गलत है। आवेग प्रतिक्रिया इकाई-चरण प्रतिक्रिया का व्युत्पन्न है।परीक्षा में इसे कैसे हल करेंस्पॉट (1+ω_nt)e^{-ω_nt} → गंभीर रूप से नम दोहराया गया पोल।महत्वपूर्ण परीक्षा बिंदुआवेग प्रतिक्रिया = एलटीआई प्रणाली के लिए इकाई-चरण प्रतिक्रिया का व्युत्पन्न।सम्पादकीय/उत्तर-कुंजी टिप्पणीआधिकारिक जीपीएससी अंतिम उत्तर कुंजी ने इस प्रश्न के अनंतिम परिणाम को डी से बी तक संशोधित किया।संबंधित संशोधन पथयह…
संकल्पना एवं तर्क
गंभीर रूप से नम प्रणाली के लिए G(s)=ω_n²/(s+ω_n)² ζ=1 के साथ। इसकी इकाई-चरण प्रतिक्रिया 1−e^{-ω_n t}(1+ω_n t) है। दिए गए व्यंजक से तुलना करने पर ω_n=5 rad/s और ζ=1 मिलता है। नम दोलन आवृत्ति ω_d=ω_n√(1−ζ²)=0, इसलिए 5 rad/s को 'अंडरडेम्प्ड प्राकृतिक आवृत्ति' कहना गलत है। आवेग प्रतिक्रिया इकाई-चरण प्रतिक्रिया का व्युत्पन्न है।
परीक्षा में इसे कैसे हल करें
स्पॉट (1+ω_nt)e^{-ω_nt} → गंभीर रूप से नम दोहराया गया पोल।
महत्वपूर्ण परीक्षा बिंदु
आवेग प्रतिक्रिया = एलटीआई प्रणाली के लिए इकाई-चरण प्रतिक्रिया का व्युत्पन्न।
सम्पादकीय/उत्तर-कुंजी टिप्पणी
आधिकारिक जीपीएससी अंतिम उत्तर कुंजी ने इस प्रश्न के अनंतिम परिणाम को डी से बी तक संशोधित किया।
संबंधित संशोधन पथ
यह प्रश्न संशोधन पथ कंट्रोल सिस्टम्स → सेकेंड-ऑर्डर सिस्टम्स → टाइम रिस्पांस में बैठता है।
क्विक ट्रिक
स्पॉट (1+ω_nt)e^{-ω_nt} → गंभीर रूप से नम दोहराया गया पोल।
दूसरे विकल्प गलत क्यों हैं
A. केवल 1 और 2 - ग़लत। यह समाधान में स्थापित शासकीय अवधारणा/परिणाम को संतुष्ट नहीं करता है।
बी. केवल 2 और 3 - सही। यह ऊपर दिखाई गई परिभाषा, व्युत्पत्ति या गणना के अनुरूप विकल्प है।
सी. केवल 1 और 3 - ग़लत। यह समाधान में स्थापित शासकीय अवधारणा/परिणाम को संतुष्ट नहीं करता है।
डी. 1, 2 और 3 - ग़लत। यह समाधान में स्थापित शासकीय अवधारणा/परिणाम को संतुष्ट नहीं करता है।
सामान्य गलती
जब ζ=1 हो तो ω_n=5 को अंडरडेम्प्ड आवृत्ति कहते हैं।
एग्जाम टिप
आवेग प्रतिक्रिया = एलटीआई प्रणाली के लिए इकाई-चरण प्रतिक्रिया का व्युत्पन्न।
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