वेक्टर कैलकुलस के संबंध में निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:1.एक सदिश क्षेत्र का विचलन एक बिंदु से प्रति इकाई आयतन के शुद्ध बाहरी प्रवाह को दर्शाता है और स्रोतों या सिंक की उपस्थिति को इंगित करता है।2.एक सदिश क्षेत्र का कर्ल क्षेत्र की घूर्णी प्रवृत्ति को मापता है और रूढ़िवादी क्षेत्रों के लिए शून्य है।3.एक अदिश क्षेत्र की ढाल के परिणामस्वरूप हमेशा परिवर्तन की दर को दर्शाने वाली एक अदिश राशि प्राप्त होती है।4.विचलन प्रमेय एक बंद सतह पर एक वेक्टर क्षेत्र के सतह अभिन्न अंग को विचलन के आयतन अभिन्न से जोड़ता है।उपरोक्त में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?

सही उत्तर: ए - केवल 1, 2 और 4

त्वरित अवधारणा स्पष्टीकरण

तीन बुनियादी वेक्टर डिफरेंशियल ऑपरेटरों के अलग-अलग आउटपुट होते हैं: ग्रेडिएंट मैप्स स्केलर→वेक्टर, डायवर्जेंस मैप्स वेक्टर→स्केलर, और कर्ल मैप्स वेक्टर→वेक्टर। इनपुट/आउटपुट प्रकार को याद रखना अक्सर ध्यान भटकाने वालों को खत्म करने के लिए पर्याप्त होता है। मुख्य संबंध: ग्रेड φ=∇φ; div A=∇·A; कर्ल ए=∇×ए; ∮_S A·dS = ∫_V (∇·A)dV.

परीक्षा फोकस: स्मरक का प्रयोग करें: ग्रैड एक अदिश राशि को एक सदिश में विकसित करता है; डिव एक अदिश राशि देता है; कर्ल एक वेक्टर देता है. सामान्य जाल: ग्रेडिएंट को अदिश कहना क्योंकि मूल क्षेत्र अदिश है।

विवरण-वार सत्यापन

• कथन 1 - सही।
  एक सदिश क्षेत्र का विचलन एक बिंदु से प्रति इकाई आयतन के शुद्ध बाहरी प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है और स्रोतों या सिंक की उपस्थिति को इंगित करता है।
  विचलन एक बिंदु पर शुद्ध बाहरी प्रवाह घनत्व/स्रोत शक्ति को मापने वाला एक स्केलर है।
• कथन 2 - सही।
  एक सदिश क्षेत्र का कर्ल क्षेत्र की घूर्णी प्रवृत्ति को मापता है और रूढ़िवादी क्षेत्रों के लिए शून्य है।
  कर्ल स्थानीय घूर्णी प्रवृत्ति को मापने वाला एक वेक्टर है; पर्याप्त रूप से सुचारू रूढ़िवादी क्षेत्र F=−∇V, ∇×F=0 के लिए।
• कथन 3 - ग़लत.
  एक अदिश क्षेत्र का ढाल हमेशा एक अदिश राशि में परिणित होता है जो परिवर्तन की दर को दर्शाता है।
  ∇φ एक सदिश क्षेत्र है जो अदिश φ की तीव्रतम वृद्धि की दिशा की ओर इशारा करता है।
• कथन 4 - सही।
  विचलन प्रमेय एक बंद सतह पर एक वेक्टर क्षेत्र के सतह अभिन्न अंग को विचलन के आयतन अभिन्न से जोड़ता है।
  विचलन प्रमेय बंद-सतह प्रवाह को विचलन के आयतन अभिन्न अंग में परिवर्तित करता है।

मूल संकल्पना

तीन बुनियादी वेक्टर डिफरेंशियल ऑपरेटरों के अलग-अलग आउटपुट होते हैं: ग्रेडिएंट मैप्स स्केलर→वेक्टर, डायवर्जेंस मैप्स वेक्टर→स्केलर, और कर्ल मैप्स वेक्टर→वेक्टर। इनपुट/आउटपुट प्रकार को याद रखना अक्सर ध्यान भटकाने वालों को खत्म करने के लिए पर्याप्त होता है।

सूत्र/कुंजी संबंध

ग्रेड φ=∇φ; div A=∇·A; कर्ल ए=∇×ए; ∮_S A·dS = ∫_V (∇·A)dV.

चरण-दर-चरण जाँच करें

टाइप-चेकिंग तुरंत कथन 3 का खंडन करती है। ज्यामितीय अर्थ और विचलन प्रमेय 1, 2 और 4 की पुष्टि करते हैं, जिससे ए प्राप्त होता है।

अन्य विकल्प ग़लत क्यों हैं?

विकल्प बी गलत है क्योंकि इसमें गलत कथन 3 शामिल है और सही कथन 2, 4 को छोड़ दिया गया है। विकल्प सी गलत है क्योंकि इसमें गलत कथन 3 शामिल है और सही कथन 1, 4 को छोड़ दिया गया है। विकल्प डी गलत है क्योंकि इसमें गलत कथन 3 शामिल है।

उत्तर-कुंजी सत्यापन नोट

अपलोड की गई अनंतिम कुंजी C को चिह्नित करती है। स्वतंत्र तकनीकी सत्यापन के बाद, बचाव योग्य उत्तर A है। यह विसंगति अनंतिम कुंजी को चुपचाप कॉपी करने के बजाय स्पष्ट रूप से बताई गई है।

परीक्षा शॉर्टकट/दृष्टिकोण

स्मरक का प्रयोग करें: ग्रैड एक अदिश राशि को एक सदिश में विकसित करता है; डिव एक अदिश राशि देता है; कर्ल एक वेक्टर देता है.

सामान्य गलती

ग्रेडिएंट को अदिश इसलिए कहा जा रहा है क्योंकि मूल क्षेत्र अदिश है।

त्वरित संशोधन

वेक्टर डिफरेंशियल ऑपरेटर्सग्रेडिएंट डाइवर्जेंस और कर्ल, वेक्टर कैलकुलस और इलेक्ट्रोमैग्नेटिक फील्ड्स से जुड़ा हुआ है। स्मरक का प्रयोग करें: ग्रैड एक अदिश राशि को एक सदिश में विकसित करता है; डिव एक अदिश राशि देता है; कर्ल एक वेक्टर देता है.